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【解説】
テ形という概念は、まあ大丈夫ですね。
日本語教育の勉強を始めたばかりの皆さんには
ーおぉ外国人向けの日本語教育文法は違うなー、
と思わせる語ですが、母語話者なら動詞のマス形・辞書形からテ形を作るのは簡単ですから、これは省略します。
それでは音便とは何か、ですが
・その方が言いやすいために、ある語の途中や終わりの音が他の音になる現象
です。検定的には動詞の音便が取りざたされることが多いのですが、名詞でも形容詞でも音便は数多く見られます。「学校」だって「がくこう」が変わって「がっこう」ですから。これは促音（小さい「っ」）が入った、促音便です。
では問題に行きましょう。
もともと動詞の1グループ、つまり国文法でいう「五段動詞」は五段の名のとおり、動詞の活用がカ行・マ行などの「あいうえお」の音で活用します。
たとえば「書く」だったら「書かない・書きます・書く・書けば・書こう」ですね。
で、テ形というのは、そのイ段に「て」をつけるものです。上の例だったら「書きて」ですね。ちょっと古文っぽい響きです。でも現代日本語では、これは「書いて」で、キがイに転じてますね。これをイ音便といいます。
問題の中からイ音便をさがすと、１の「歩く」は「歩きて→歩いて」となります。イ音便はこれ一つなので、他の音便も探しましょう。
次はさっき出てきた促音便、つまりイ段のところが小さい「っ」に変わっちゃうやつです。すると見つかるのが、4の「鳴る」です。「鳴りて→鳴って」ですから。この仲間もひとつだけ。あと３つ残っています。
で、３の「飲む」、5の「呼ぶ」に着目しましょう。さっきと同じようにイ段を見ると「飲みて」「呼び手」ですが、今は「飲んで」「読んで」とイ段のところは「ん」に化けました。「ん」は撥音といいます。あまり親切じゃない専門書には「はねる音」と書いてあります。どこが跳ねてるの？ 何か元気なの？ と思っちゃいますが、まあ「ジャンプ」の「ん」とでも思ってください。で、イ段が撥音に変わるので、これらは２つとも撥音便です。
最後に残った「話す」を見ると、「話して」。音便なしです！
デカ長、コイツが犯人です、じゃなくて正解です！（←誰だよこいつ）
まとめると、1グループ（五段動詞）の音便化には、上でやった順でいうと
・イ音便
・促音便
・撥音便
の３つがあり、それと音便にならないのがあるわけです。
こういう問題に習熟するには、アクセントのパターンと同じで、自分でほかの仲間を探すのがいちばん良い方法だと思います。
【参考】
『日本語教育のスタートライン』pp. 87-88
